Rayと三角形の交差判定

5/14 追記中

教科書

ゲームプログラミングのための3Dグラフィックス数学

作者: Eric Lengyel,狩野智英
出版社/メーカー: ボーンデジタル
発売日: 2002/10/25
メディア: 単行本（ソフトカバー）
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これのレイと三角形の交差のところ
4.2.1 直線と平面の交差
5.2.1 レイと三角形の交差
の理解が難航したので問題箇所に関してメモ。

texとか使ってみたかったしな。

平面の定義

点 $P_{0}$ を通り方向 $N$ に垂直な平面を
$N\cdot (P-P_{0})=0$

平面の式変形

$N\cdot P-N\cdot P_{0}=0$
から
$N=(A, B, C)$
$P=(x, y, z)$
として展開
$Ax+By+Cz+D=0$
$D=-N\cdot P_{0}$
ここで、
$L=(A, B, C, D)$
$P'=(x, y, z, 1)$
(ここでP'は位置を表す同次座標なので、w=1)
とすると
$L\cdot P'=0$
なんか同次座標が出てくるｗ

三角形平面

三角形の点を
$P_{0}, P_{1}, P_{2}$
とすると
$N=(P_{1}-P_{0})\times (P_{2}-P_{0})$
から法線が求められる。
$e_{1}=P_{1}-P_{0}$
$e_{2}=P_{2}-P_{0}$
とおいて外積を展開して
$N=(e_{1y}e_{2z}-e_{1z}e_{2y}, e_{1z}e_{2x}-e_{1x}e_{2z}, e_{1x}e_{2y}-e_{1y}e_{2z})$

Rayの定義

始点 $Q$ 、方向 $V$ のベクトル
$P(t)=Q+tV$
同次座標に拡張して
$P(t)'=Q'+tV'$
$Q'=(q_{x}, q_{y}, q_{z}, 1)$
$V'=(v_{x}, v_{y}, v_{z}, 0)$
Q'は位置ベクトルでV'は方向ベクトルなので４つ目の要素が1, 0になる